B-XVI : initiation à la mécanique lagrangienne et hamiltonienne

Mots-clefs : méthode variationnelle, intégrale d'action, principe de moindre action, lagrangien, équations de Lagrange, lois de conservation, coordonnées généralisées, impulsions généralisées, hamiltonien, équations de Hamilton, lagrangien et hamiltonien d'une particule chargée dans un champ électromagnétique, méthode des perturbations, crochets de Poisson.

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Ci-dessous l'introduction du chapitre :

La mécanique lagrangienne et hamiltonienne n'est pas ici présentée pour elle-même mais parce qu'elle sous-tend la mécanique quantique et ne sera donc pas approfondie.

On montre comment en considérant des fonctions formelles des positions et des vitesses, considérées comme variables indépendantes et en introduisant un principe de moindre action, on se dote d'un puissant outil pour mettre en équations un problème de mécanique. On évoque aussi les limitations de cette mécanique dans le cas de déformations élastiques ou de forces de contact.

Les lois de conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement et du moment cinétique sont déduites de l'homogénéité du temps, de l'homogénéité et de l'isotropie de l'espace.

On montre comment l'approche hamiltonienne, dans un contexte de résolution algorithmique, est préferable à l'approche lagrangienne. On cite l'exemple de la mécanique céleste.

On montre comment gérer l'interaction électromagnétique, ce qui sera primordial en mécanique quantique.

On introduit enfin les crochets de Poisson pour leur analogie avec les commutateurs en mécanique quantique, en particulier pour les moments cinétiques.

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