B-XIX : particule dans un potentiel harmonique ou colombien

Mots-clefs : équation de Schrödinger stationnaire, potentiel harmonique, potentiel newtonien, opérateur de création, opérateur d'annihilation, harmoniques sphériquues, atome de Bohr, état lié, quantification de l'énergie, état fondamental, hamiltonien, fonction de carré sommable, normalisation.

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Ci-dessous l'introduction du chapitre :

Ce chapitre met en œuvre l'axiomatique de la mécanique quantique dans deux exemples classiques.

Le premier est l'oscillateur harmonique unidirectionnel. On résout dans un premier temps l'équation de Schrödinger stationnaire par des méthodes mathématiques standard et l'on montre la nécessité d'une quantification de l'énergie (utilisable en thermodynamique statistique) pour donner des solutions de carré sommable. Dans un second temps, l'on introduit de nouveaux opérateurs, en particulier ceux dits de création et d'annihilation, qui donnent une résolution plus aisée et trouvent plus simplement les fonctions d'onde valeurs propres du hamiltonien. On montre comment passer à l'oscillateur tridimensionnel.

Le second exemple est celui d'une particule dans un champ newtonien tridimensionnel (par exemple l'atome d'hydrogène). Ici pas de méthode élégante possible. On introduit les harmoniques sphériques et l'on résout classiquement puis on montre la nécessité d'une quantification à trois nombres, toujours pour des raisons de convergence et de normalisation.

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