B-XXI : espaces courbes, le minimum vital

Mots-clefs : relativité générale, espaces de Riemann (espaces courbes), coordonnées généralisées, base locale, base naturelle, métrique, dérivation covariante, symboles de Christoffel, tenseur de Riemann-Christoffel, tenseur de Ricci, courbure scalaire, identité de Bianchi.

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Ci-dessous l'introduction du chapitre :

La théorie de la relativité générale s'appuie sur la géométrie des espaces de Riemann, dits espaces courbes. Cette théorie mathématique relève du second cycle universitaire et un exposé rigoureux nécessiterait plusieurs dizaines, voire quelques centaines de pages très au-dessus du niveau moyen présumé en mathématiques des lecteurs que je vise. Se contenter d'un catalogue de résultats à admettre priverait ceux-ci de tout contenu sinon physique, au moins géométrique. J'ai donc tenté ici (je ne suis bien sûr ni le premier ni le dernier) une voie moyenne pour donner du sens à l'outil qui nous sera essentiel dans le prochain chapitre, le tenseur de Riemann-Christoffel.

Après quelques rappels d'algèbre linéaire et une définition intuitive des tenseurs, on donne la définition d'un espace de Riemann, d'une simplicité désarmante; on introduit la notion déjà connue de base locale et celle de la métrique puis, première immersion dans ce nouveau monde, la notion de dérivée covariante, elle aussi très simple, qui introduit un nouvel outil, les symboles de Christoffel.

Sur deux exemples simples liés l'un à l'autre, on arrive à se doter d'un indicateur servant à distinguer espaces courbes et espaces plats et qui nous conduira au tenseur de Riemann-Christoffel et ses «contractions», le tenseur de Ricci et la courbure scalaire. L'identité de Bianchi qui sera utile dans le prochain chapitre est mentionnée sans démonstration, car celle-ci, uniquement technique, n'apporte rien à la physique.

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